Question

【題目】幾何模型：

條件：如圖1，A、B是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．

問題：在直線上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．

模型應(yīng)用：

（1）如圖2,已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（0，-1），B（2，-1）,P為x軸上一動(dòng)點(diǎn), 則當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是______，此時(shí)PA+PB的最小值是______；

（2）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BD，則PB+PE的最小值是______；

（3）如圖4,正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則PD＋PE的最小值為 ；

（4）如圖5,在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，點(diǎn)G是邊CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AG、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+ED的最小值是_______________.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 1 ，此時(shí)PA+PB的最小值是；（2）PB+PE的最小值是 （3）這個(gè)最小值為 ；（4）EF+ED的最小值是

【解析】

（1）取點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于P，作BH⊥x軸于H，求出OP，得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出A′B，得到答案；

（2）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；

（3）由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BD，與AC的交點(diǎn)即為F點(diǎn)．此時(shí)PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果；

（4）作DH⊥AC垂足為H與AG交于點(diǎn)E，點(diǎn)H關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)為F，此時(shí)EF+ED最小=DH，先證明△ADC是等邊三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解決問題．

（1）取點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于P，作BH⊥x軸于H，

則此時(shí)PA+PB的值最小，

∵OA′=OA=1，BH=1，BH∥OA′，

∴OP=PH=1，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1，

PA+PB=A′B=，

故答案為：1；2；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；

（3）連接BD，與AC交于點(diǎn)F．

∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面積為12，

∴AB=2，

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=2，

故所求最小值為2．

（4）如圖作DH⊥AC垂足為H與AG交于點(diǎn)E，

∵四邊形ABCD是菱形，

∵AB=AD=CD=BC=8，

∵∠B=60°，

∴∠ADC=∠B=60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∵AG是中線，

∴∠GAD=∠GAC

∴點(diǎn)H關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)F在AD上，此時(shí)EF+ED最小=DH．

在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，

∴CH=DC=4，DH=，

∴EF+DE的最小值=DH=4．