Question

如圖，過四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，所圍成的四邊形EFGH顯然是平行四邊形．
（1）當(dāng)四邊形ABCD是分別菱形、矩形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請(qǐng)將你的結(jié)論填入下表：

四邊形ABCD	菱形	矩形
平行四邊形EFGH

（2）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，平行四邊形EFGH是什么特殊圖形，證明你的結(jié)論；
（3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形是矩形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形必須滿足怎樣的條件？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）原四邊形是菱形時(shí)，菱形的對(duì)角線互相垂直，因此平行四邊形應(yīng)該是個(gè)矩形（平行四邊形相鄰的兩邊都垂直），
原四邊形是矩形時(shí)，它的對(duì)角線相等，那么平行四邊形應(yīng)該是個(gè)菱形（平行四邊形相鄰的兩邊都相等）；
（2）根據(jù)平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出鄰邊相等即可；
（3）根據(jù)（1）我們可看出要想使得出的平行四邊形是矩形，那么原四邊形的對(duì)角線就必須垂直，因?yàn)橹挥羞@樣平行四邊形的相鄰兩邊才垂直．

解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形時(shí)，平行四邊形EFGH是矩形，
四邊形ABCD是矩形時(shí)，平行四邊形EFGH是菱形，
故答案為：矩形，菱形．

（2）如圖所示：

當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，平行四邊形EFGH是矩形；
理由：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EAOB，EFGH均為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AC=DB，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四邊形EFGH為菱形；

（3）當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，原四邊形ABCD必須滿足的條件是對(duì)角線互相垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)．能求出平行四邊形EFHG是解此題的關(guān)鍵．