Question

已知，如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD為∠ABC的角平分線交AC于D，過點D作DE垂直AB于點E，
（1）求AE的長；
（2）求BD的長．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出BC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，再利用“HL”證明Rt△BCD和Rt△BED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=BC，再根據(jù)AE=AB-BE計算即可得解；
（2）設(shè)CD=DE=x，利用勾股定理列式求出x，再利用勾股定理列式計算即可求出BD．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∵BD為∠ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，

BD=BD CD=DE

，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=10-6=4；

（2）設(shè)CD=DE=x，則AD=8-x，
在Rt△ADE中，AE²+DE²=AD²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
所以，CD=DE=3，
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

62+32

=3

5

．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（2）多次利用勾股定理．