【題目】如圖,四邊形ABCD的內角∠DCB與外角∠ABE的平分線相交于點F.

1)若BFCD,∠ABC=80°,求∠DCB的度數(shù);

2)已知四邊形ABCD中,∠A=105,∠D=125,求∠F的度數(shù);

3)猜想∠F、∠A、∠D之間的數(shù)量關系,并說明理由.

【答案】(1)50°;(2)25°;(3)∠F=(∠A+∠D-180)°.

【解析】

1)由∠ABC=80°,可知∠ABE=100°,根據(jù)BF平分∠ABE,BFCD可得∠BCD=50°.

2)由三角形外角性質可知∠F=FBE-FCE,而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,故∠F=(∠ABE-FCE),由補角性質和四邊形內角和可得∠ABE=360°-A-B-BCD,將已知代入即可求解;

3)同(2)可得∠F=(A+D-180°)

解:(1ABC=80°,

∴∠ABE=180°-ABC=100°,

BF平分∠ABE,

∴∠EBF=ABE=50°,

BFCD

∴∠BCD=EBF=50°;

2)∵∠FBE△EBC的外角,

∴∠F=EBF-ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,

∴∠EBF=ABE=,∠ECF=BCD,

∵∠ABE=180°-ABC,

∴∠F=180°-ABC-BCD=[180°-(∠ABC+BCD],

∵在四邊形ABCD中,∠ABC+BCD=360°-A-D

∴∠F=[180°-360°-A-D],

∴∠F=(∠A+D-180°),

∵∠A=105,∠D=125,

∴∠F=105 +125 -180°=25°

3)結論:∠F=(∠A+D-180°

理由如下:∵∠FBE△EBC的外角,

∴∠F=EBF-ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,

∴∠EBF=ABE=,∠ECF=BCD

∵∠ABE=180°-ABC,

∴∠F=180°-ABC-BCD=[180°-(∠ABC+BCD],

∵在四邊形ABCD中,∠ABC+BCD=360°-A-D

∴∠F=[180°-360°-A-D],

∴∠F=(∠A+D-180°),

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,

0k1),

,

解得,

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