Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若⊙O半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的判斷方法與性質(zhì)易得AD是BC的垂直平分線，故可得AB=AC；

（2）連接OD，由平行線的性質(zhì)，易得OD⊥DE，且DE過(guò)圓周上一點(diǎn)D故DE為⊙O的切線；

（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC=10，CD=BC=5；又∠C=60°，借助三角函數(shù)的定義，可得答案．

試題解析：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°；

∵BD=CD，

∴AD是BC的垂直平分線．

∴AB=AC．

（2）證明：連接OD，

∵點(diǎn)O、D分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE為⊙O的切線．

（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB=BC=10，CD=BC=5．

∵∠C=60°，

∴DE=CDsin60°=