Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-

1

2

x²+

3

2

x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．過(guò)動(dòng)點(diǎn)H（0，m）作平行于x軸的直線l，直線l與二次函數(shù)y=-

1

2

x²+

3

2

x+2的圖象相交于點(diǎn)D，E．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，求m的值；
（3）直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0，所以代入y=0，求解即可．
（2）由圓和拋物線性質(zhì)易得圓心Q位于直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)處，則Q的橫坐標(biāo)為

3

2

，可推出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（

3

2

-m，m），（

3

2

+m，m）．因?yàn)镈、E都在拋物線上，代入一點(diǎn)即可得m．
（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點(diǎn)的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點(diǎn)在AC的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時(shí)．利用全等三角形知識(shí)易得m的值．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，有-

1

2

x2+

3

2

x+2=0，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（-1，0）．

（2）∵⊙Q與x軸相切，且與y=-

1

2

x2+

3

2

x+2交于D、E兩點(diǎn)，
∴圓心Q位于直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)處，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-

3 2

2×(- 1 2 )

=

3

2

，⊙Q的半徑為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)m（m＞0），
∴D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（

3

2

-m，m），（

3

2

+m，m）
∵E點(diǎn)在二次函數(shù)y=-

1

2

x2+

3

2

x+2的圖象上，
∴m=-

1

2

×(

3

2

+m)2+

3

2

×(

3

2

+m)+2，
解得m=

29

2

-1或m=-

29

2

-1（不合題意，舍去）．

（3）存在．
①如圖1，

當(dāng)∠ACF=90°，AC=FC時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG，
∴△ACO≌△CFG，
∴CG=AO=4，
∵CO=2，
∴m=OG=2+4=6；
反向延長(zhǎng)FC，使得CF=CF′，此時(shí)△ACF′亦為等腰直角三角形，
易得y_C-y_F′=CG=4，
∴m=CO-4=2-4=-2．
②如圖2，

當(dāng)∠CAF=90°，AC=AF時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥x軸于P，
∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠FAP，
∴△ACO≌△∠FAP，
∴FP=AO=4，
∴m=FP=4；
反向延長(zhǎng)FA，使得AF=AF′，此時(shí)△ACF’亦為等腰直角三角形，
易得y_A-y_F′=FP=4，
∴m=0-4=-4．
③如圖3，

當(dāng)∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時(shí)，則F點(diǎn)一定在AC的中垂線上，此時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)分別記為F，F(xiàn)′，
分別過(guò)F，F(xiàn)′兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，分別交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA，
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴△CDF≌△AEF，
∴CD=AE，DF=EF，
∴四邊形OEFD為正方形，
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，
∴4=2+2•CD，
∴CD=1，
∴m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，
∴∠HF′C=∠GF′A，
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，
∴△HF′C≌△GF′A，
∴HF′=GF′，CH=AG，
∴四邊形OHF′G為正方形，
∴OH=CH-CO=AG-CO=AO-OG-CO=AO-OH-CO=4-OH-2，
∴OH=1，
∴m=-1．
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴y的最大值為

25

8

．
∵直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴m＜

25

8

．
∴m可取值為：-4、-2、-1或3．
綜上所述，直線l上存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值為-4、-2、-1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題難度適中，考查的主要是二次函數(shù)、圓、等腰直角三角形及全等三角形性質(zhì)，但是最后一問(wèn)情形較多不易找全，非常鍛煉學(xué)生的全面思考．