Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線(xiàn)段EF，GH分割成四個(gè)小長(zhǎng)方形，EF與GH交于點(diǎn)P，設(shè)BF長(zhǎng)為a，BG長(zhǎng)為b，△GBF的周長(zhǎng)為m，

(1)①用含a，b，m的式子表示GF的長(zhǎng)為 ；

②用含a，b的式子表示長(zhǎng)方形EPHD的面積為 ；

(2)已知直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，

例如在圖1，△ABC中，∠ABC=900，則，

請(qǐng)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：

①寫(xiě)出a，b，m滿(mǎn)足的等式 ；

②若m=1，求長(zhǎng)方形EPHD的面積；

③當(dāng)m滿(mǎn)足什么條件時(shí)，長(zhǎng)方形EPHD的面積是一個(gè)常數(shù)？

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①；②；③m=1

【解析】

（1）①直接根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可；

②根據(jù)BF長(zhǎng)為a，BG長(zhǎng)為b，表示出EP，PH的長(zhǎng)，根據(jù)求長(zhǎng)方形EPHD的面積；

（2）①直接根據(jù)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，表示出a，b，m之間的關(guān)系式；

②根據(jù)線(xiàn)段之間的關(guān)系利用勾股定理求出長(zhǎng)方形EPHD的面積的值；

③結(jié)合①的結(jié)論和②的作法即可求解.

（1）①∵BF長(zhǎng)為a，BG長(zhǎng)為b，△GBF的周長(zhǎng)為m，

∴，

故答案為：；

②∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 ，

∴AB=BC=1，

∵BF長(zhǎng)為a，BG長(zhǎng)為b，

∴AG=1-b，FC=1-a，

∴EP=AG=1-b，PH=FC=1-a，

∴長(zhǎng)方形EPHD的面積為：，

故答案為：；

（2）①△ABC中，∠ABC=90°，則，

∴在△GBF中， ，

∴，

化簡(jiǎn)得，

故答案為：；

②∵BF=a，GB=b，

∴FC=1-a，AG=1-b，

在Rt△GBF中，，

∵Rt△GBF的周長(zhǎng)為1，

∴

即 ，

即，

整理得

∴，

∴矩形EPHD的面積

．

③由①得： ，

∴.

∴矩形EPHD的面積

，

∴要使長(zhǎng)方形EPHD的面積是一個(gè)常數(shù)，只有m=1．