Question

如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題；壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；

（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算；

（3）根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，m），分三種情況討論，①M(fèi)A=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．

【解答】解：（1）∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

∴可得A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得：，

解得：．

∴拋物線解析式為：y=x²+2x﹣3．

（2）令y=0得：0=x²+2x﹣3，

解得：x₁=1，x₂=﹣3，

則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），AC=4，

故可得S_△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）存在，理由如下：

拋物線的對稱軸為：x=﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意：

討論：

①當(dāng)MA=AB時，

∵OA=1，OB=3，

∴AB=，

，

解得：，

∴M₁（﹣1，），M₂（﹣1，﹣）；

②當(dāng)MB=BA時，，

解得：M₃=0，M₄=﹣6，

∴M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6）（不合題意舍去），

③當(dāng)MB=MA時，，

解得：m=﹣1，

∴M₅（﹣1，﹣1），

答：共存在4個點(diǎn)M₁（﹣1，），M₂（﹣1，﹣），M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難點(diǎn)在第三問，注意分類討論，不要漏解．