Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=AC=4cm，于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s，點Q沿CA，AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為t(s)，

（1）求t為何值時，；

（2）當時，求證：AD平分△PQD的面積；

（3）當時，求△PQD面積的最大值.

 

Answer 1

（1）當t=（Q在AC上）時，；

（2）證明見解析；

（3）當t=1時，△PQD面積的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

（3）△PQD面積與t的函數(shù)關系式，再求最大值即可．

試題解析：（1）當Q在AB上時，顯然不存在；

當Q在AC上時，BP=t，CQ=2x，PC=4-t

∵AB=BC=AC=4cm，

∴∠C=60°

若，則∠QPC=30°

∴PC=2QC，

∴4-t=2×2t，

∴t=，

當t=（Q在AC上）時，；

（2）過點Q作QE⊥BC于點E，

∵∠ODP=90°=∠QEP，∠OPD=∠QPD

∴△ODP∽△QEP

∴

∵當時，BP=t， PD=2-t ，

又CQ=2t，CE=t，PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t

∴PD=PE，

∴OD=QE

∵，

∴，

∴AD平分△PQD的面積；

（3）當時，設△PQD面積為，

∵PD=2-t ，QE=

∴==

∴當t=1時，△PQD面積的最大值為．

考點：等邊三角形的性質(zhì)．