Question

如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于A，E兩點，D是在第一象限內(nèi)直線上運動的一個動點，以ED為邊作正方形EDCB，連結(jié)CE，作EC⊥CF與過A，D，C三點的圓交于點F，連結(jié)DF．
（1）求AE的長；
（2）請你在圖中添加一條線段（不再標注其他字母），從而構(gòu)造一個三角形與△FDC相似，并說明理由；
（3）點D在運動過程中，CF的長度是否改變？若不變，請求出CF的長；若變化，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先確定E點坐標為（0，2），A點坐標為（-1，0），然后利用勾股定理計算AE；
（2）連結(jié)AC，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠DCE=∠DEC=45°，則∠AEC=135°，再計算出∠DCF=135°，則∠AEC=∠DCF，然后根據(jù)圓周角定理得∠DAC=∠DFC，
于是根據(jù)三角形相似的判定方法得到△ACE∽△FDC；
（3）由△ACE∽△FDC得到

AE

CF

=

EC

DC

，再根據(jù)△DEC為等腰直角三角形得到EC=

2

DC，然后利用相似比可計算出CF=

10

2

．

解答：解：（1）把x=0代入y=2x+2得y=2，則E點坐標為（0，2），
把y=0代入y=2x+2得2x+2=0，解得x=-1，則A點坐標為（-1，0），
所以AE=

OA2+OE2

=

12+22

=

5

；

（2）連結(jié)AC，則△ACE∽△FDC．理由如下：
∵四邊形BEDC為正方形，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠AEC=135°，
∵EC⊥CF，
∴∠DCF=45°+90°=135°，
∴∠AEC=∠DCF，
∵∠DAC=∠DFC，
∴△ACE∽△FDC；

（3）CF的長度不改變．
∵△ACE∽△FDC，
∴

AE

CF

=

EC

DC

，
∵△DEC為等腰直角三角形，
∴EC=

2

DC，
∴

5

CF

=

2

，
∴CF=

10

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和正方形的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算．