Question

如圖，⊙O的弦AC、BD交于點Q，AP、CP是⊙O的切線，O、Q、P三點共線．求證：PA²=PB•PD．

Answer 1

考點：四點共圓

專題：證明題

分析：連接OA、OB、OD，設(shè)DP交⊙O于E．利用已知條件“AP、CP是⊙O的切線”可以證得A、O、C、P四點共圓；然后根據(jù)相交弦定理知OQ•PQ=AQ•CQ、DQ•BQ=AQ•CQ，由等量代換可以求得OQ•PQ=DQ•BQ，所以D、O、B、P四點共圓，所以由圓周角、弦、弧間的關(guān)系可以證得∠DPO=∠BPO，PB=PE；最后根據(jù)切割線定理得出結(jié)論PA²=PE•PD=PB•PD．

解答：證明：連接OA、OB、OD、OC，設(shè)DP交⊙O于E．
∵AP、CP是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠PCO=90°
∴A、O、C、P四點共圓，
∴OQ•PQ=AQ•CQ（相交弦定理）；
又∵DQ•BQ=AQ•CQ（相交弦定理），
∴OQ•PQ=DQ•BQ，
∴D、O、B、P四點共圓；
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵ODPB四點共圓
∴∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD；
∴∠OPD=∠OPB，
∴PB=PE，
∴PA²=PE•PD=PB•PD（切割線定理），即PA²=PB•PD．

點評：本題考查了四點共圓的知識．把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連接并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．