Question

已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（-6，0）．連結(jié)AB，作直線y=1，交AB于點(diǎn)P₁，過(guò)P₁作P₁Q₁⊥x軸于Q₁；連結(jié)AQ₁，交直線y=1于點(diǎn)P₂，P₂Q₂⊥x軸于Q₂；…以此類(lèi)推．則點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為

 

；△P_nQ_nA的面積為=

 

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：①由P₁Q₁⊥x軸于Q₁，P₂Q₂⊥x軸于Q₂，…，以此類(lèi)推．可得：P₁Q₁∥P₂Q₂∥P₃Q₃∥…∥P_nQ_n∥y軸，進(jìn)而可得△BP₁Q₁∽△ABO，△P₂Q₁Q₂∽△AQ₁O，△P₃Q₂Q₃∽△AQ₂O，…，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出BQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…的值，進(jìn)而可確定Q₁，Q₂，Q₃的坐標(biāo)及P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，然后根據(jù)Q₁，Q₂，Q₃的坐標(biāo)及P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，尋求規(guī)律，歸納出P_n，Q_n的坐標(biāo)；
②根據(jù)△AP₁Q₁的面積=△ABQ₁的面積-△BP₁Q₁的面積=

1

2

•BQ₁•OA-

1

2

•BQ₁•P₁Q₁=BQ₁，△AP₂Q₂的面積=△AQ₁Q₂的面積-△Q₁P  2Q₂的面積=

1

2

•Q₁Q₂•OA-

1

2

•Q₁Q₂•P₂Q₂=Q₁Q₂，…，可得歸納出：△P_nQ_nA的面積=Q_n-1Q_n，然后將Q_n-1，Q_n的橫坐標(biāo)代入即可．

解答：解：①∵點(diǎn)A（0，3），B（-6，0），作直線y=1，交AB于點(diǎn)P₁，
∴OA=3，OB=6，P₁Q₁=P₂Q₂=P₃Q₃=1，
∵P₁Q₁⊥x軸于Q₁，P₂Q₂⊥x軸于Q₂，…，
∴P₁Q₁∥P₂Q₂∥P₃Q₃∥…∥P_nQ_n∥y軸，
∴△BP₁Q₁∽△ABO，△P₂Q₁Q₂∽△AQ₁O，△P₃Q₂Q₃∽△AQ₂O，…，
∴

P1Q1

OA

=

BQ1

OB

，

P2Q2

OA

=

Q1Q2

OQ1

，

P3Q3

OA

=

Q2Q3

OQ2

，…，
∴BQ₁=2，Q₁Q₂=

4

3

，Q₂Q₃=

8

9

，…，
∴Q₁（-4，0），Q₂（-

8

3

，0），Q₃（-

16

9

，0），…，
P₁（-4，1），P₂（-

8

3

，1），P₃（-

16

9

，0），…，
即Q₁（-

22

30

，0），Q₂（-

23

31

，0），Q₃（-

24

32

，0），…，
P₁（-

22

30

，1），P₂（-

23

31

，1），P₃（-

24

32

，0），…，
∴Q_n-1（-

2n

3n-2

，0），Q_n（-

2n+1

3n-1

，0），P_n-1（-

2n

3n-2

，1）P_n（-

2n+1

3n-1

，1），
故點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為：Q₃（-

16

9

，0），
故答案為：Q₃（-

16

9

，0）；
②∵△AP₁Q₁的面積=△ABQ₁的面積-△BP₁Q₁的面積=

1

2

•BQ₁•OA-

1

2

•BQ₁•P₁Q₁=BQ₁，
△AP₂Q₂的面積=△AQ₁Q₂的面積-△Q₁P  2Q₂的面積=

1

2

•Q₁Q₂•OA-

1

2

•Q₁Q₂•P₂Q₂=Q₁Q₂，…，
∴△P_nQ_nA的面積=Q_n-1Q_n=

2n+1

3n-1

-

2n

3n-2

=-

2n

3n-1

．
故答案為：-

2n

3n-1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)Q₁，Q₂，Q₃的坐標(biāo)及P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，尋求規(guī)律，歸納出P_n，Q_n的坐標(biāo)．