Question

【題目】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，BP為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)Q．

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)BQ的長(zhǎng)為時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明圓P與直線DC的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）AB長(zhǎng)為5;（2）圓P與直線DC相切，理由詳見解析.

【解析】

（1）過A作AE⊥BC于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=AD=1，AE=CD=3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）過P作PF⊥BQ于F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PB=，得到PA=AB-PB=，過P作PG⊥CD于G交AE于M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PM=，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．

（1）過A作AE⊥BC于E，
則四邊形AECD是矩形，
∴CE=AD=1，AE=CD=3，
∵AB=BC，
∴BE=AB-1，
在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=32+（AB-1）2，
解得：AB=5；
（2）過P作PF⊥BQ于F，
∴BF=BQ=，
∴△PBF∽△ABE，
∴，
∴，
∴PB=，
∴PA=AB-PB=，
過P作PG⊥CD于G交AE于M，
∴GM=AD=1，

∵DC⊥BC

∴PG∥BC
∴△APM∽△ABE，
∴，
∴，
∴PM=，
∴PG=PM+MG==PB，
∴圓P與直線DC相切．