Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y1＝2x2+的頂點為M，直線y2＝x，點P（n，0）為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線y1＝2x2+和直線y2＝x于點A、點B

（1）直接寫出A、B兩點的坐標（用含n的代數(shù)式表示）

（2）設線段AB的長為d，求d關于n的函數(shù)關系式及d的最小值，并直接寫出此時線段OB與線段PM的位置關系和數(shù)量關系；

（3）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a≠0），對一切實數(shù)x恒有x≤y≤2x2+，求a，b，c的值．

Answer 1

【答案】（1）A（n，2n2+），B（n，n）；（2）d＝2（n﹣）2+，d最小值，此時線段OB與線段PM的位置關系和數(shù)量關系是OB⊥PM且OB＝PM；（3）a＝1，b＝1，c＝0．

【解析】

(1)由題意不難看出：點P、A、B三點的橫坐標相同，將點P橫坐標代入函數(shù)y1、y2的解析式中即可確定A、B兩點的坐標．

(2)首先根據(jù)題意畫出圖形，可看出拋物線y1的圖象始終在直線y2的上方，那么線段AB的長可由點A、B的縱坐標差求得，據(jù)此求出關于d、n的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)先確定出符合題意的n、d值，即可確定點B、P的坐標，點M的坐標易得，根據(jù)這四點坐標即可確定線段OB、PM的位置和數(shù)量關系．

(3)首先將函數(shù)解析式代入不等式中，再根據(jù)利用函數(shù)圖象解不等式的方法來求出待定系數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)a、b、c都是整數(shù)確定它們的值．

(1)當時，；

∴．

(2)．

∴．

∴當時，d取得最小值．

此時，B(，)，而M(0，)、P(，0)，

∴四邊形OMBP是正方形，

∴當d取最小值時，線段OB與線段PM的位置關系和數(shù)量關系是OB⊥PM且OB=PM．(如圖)

(3)∵對一切實數(shù)恒有，

∴對一切實數(shù)，都成立①

當時，①式化為．

∴整數(shù)c的值為0．

此時，對一切實數(shù)，都成立

即 對一切實數(shù)均成立．

由②得 對一切實數(shù)均成立．

∴．

由⑤得整數(shù)的值為1．

此時由③式得，對一切實數(shù)均成立

即對一切實數(shù)x均成立

當時，此不等式化為，不滿足對一切實數(shù)均成立．

當時，∵對一切實數(shù)x均成立，(a≠0)

∴

∴由④，⑥，⑦得．

∴整數(shù)的值為1．

∴整數(shù)的值分別為．