Question

【題目】如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）M為軸上方拋物線上的一點(diǎn)，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將原拋物線沿對(duì)稱軸平移后得到新拋物線為，，是新拋物線在第一象限內(nèi)互不重合的兩點(diǎn)，軸，軸，垂足分別為，，若始終存在這樣的點(diǎn)，，滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）

【解析】

（1）設(shè)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）令求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸直線與軸交點(diǎn)為，作原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)已知條件可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)新拋物線解析式為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到兩個(gè)等式，進(jìn)而可得出m與n的關(guān)系，可先求出n的取值范圍，最后根據(jù)h與n的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解．

解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，

，

把代入拋物線解析式得，，

解得，，

；

（2）令得，，

或，

，

，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸直線與軸交點(diǎn)為，作原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，

，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，

則，，

解得，，

直線解析式為，

與拋物線聯(lián)立得，

，即，

∴，

，

故點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）設(shè)，

，

，，

，

設(shè)新拋物線解析式為，

把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，，

即，，

建立與或與的函數(shù)關(guān)系式，從而求的取值范圍，

先找到與的關(guān)系式，，

，，

，

，，

，，，

且，

把代入得，

且，

，

故的取值范圍．