Question

已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，某同學分析圖形后得出以下結論：①DH⊥BC；②CE=；③△AEB≌△CEB；④△BDF≌△CDA．上述結論一定正確的是(     )

A．①③ B．③④ C．①③④     D．①②③④

Answer 1

D【考點】全等三角形的判定與性質．

【分析】根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質可得DH⊥BC，判斷①正確，然后證明△BDF與△CDA全等，④正確，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以證明△ABE與△CBE全等，③正確；根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CE，從而判斷②正確．

【解答】解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，

∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點，

∴BD=CD，DH⊥BC，①正確；

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，

∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF與△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（ASA），故④正確；

∴BF=AC，

∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，

∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE與△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（ASA），故③正確；

∴AE=CE=AC，

∴BF=2CE，故②正確；

【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，仔細分析圖形并熟練掌握各性質是解題的關鍵．