Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AD．
問(wèn)題引入：
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S_△ABD：S_△ABC=

 

；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S_△ABD：S_△ABC=

 

（用圖中已有線段表示）．
探索研究：
（2）如圖②，在△ABC中，O點(diǎn)是線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO、CO，試猜想S_△BOC與S_△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說(shuō)明理由．
拓展應(yīng)用：
（3）如圖③，O是線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，試猜想

OD

AD

+

OE

CE

+

OF

BF

的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時(shí)，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案．

解答：解：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S_△ABD：S_△ABC=1：2；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S_△ABD：S_△ABC=BD：BC，
故答案為：1：2，BD：BC；
（2）S_△BOC：S_△ABC=OD：AD，
如圖②作OE⊥BC與E，作AF⊥BC與F，
∵OE∥AF，
∴△OED∽△AFD，

OD

AD

=

OE

AF

．
∵

S△BOC

S△ABC

=

1 2 BC•OE

1 2 BC•AF

=

OE

AF

，
∴

S△BOC

S△ABC

=

OD

AD

；
（3）

OD

AD

+

OE

CE

+

OF

BF

=1，理由如下：
由（2）得

OD

AD

=

S△BOC

S△ABC

，

OE

CE

=

S△AOB

S△ABC

，

OF

BF

=

S△AOC

S△ABC

．
∴

OD

AD

+

OE

CE

+

OF

BF

=

S△BOC

S△ABC

+

S△AOB

S△ABC

+

S△AOC

S△ABC

=

S△BOC+S△AOB+S△AOC

S△ABC

=

S△ABC

S△ABC

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了等底的三角形面積與高的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)．