【題目】如圖,在以AB為直徑的半⊙O上有點(diǎn)C,點(diǎn)D在上,過圓心作OF⊥CD的于點(diǎn)F,OF、AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連結(jié)CE,若∠DEC=90°.
(1)試說明∠BAC=45°;
(2)若DF=1,△ACE的面積為△DCE面積的3倍,連接AC交OE于點(diǎn)P,求tan∠ACD的值和OP的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,延長(zhǎng)EC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,直接寫出BG的長(zhǎng) .
【答案】(1)見解析;(2)tan∠ACD=,OP=;(3)
【解析】
(1)連接BC,由垂徑定理得出OF垂直平分CD,得出△CDE是等腰直角三角形,∠DCE=∠CDE=45°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ABC=∠CDE=45°,由圓周角定理得出∠ACB=90°,即可得出結(jié)論;
(2)連接OC、BD,由題意求出AE=3DE=3,AD=2,由勾股定理得出AC==2,由圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°,得出△ABC是等腰直角三角形,BC=AC=2,AB=AC=2,得出OC=OA=OB=,由勾股定理得出BD==4=2AD,再由圓周角定理和三角函數(shù)即可得出tan∠ACD=tan∠ABD==;證明△PCF∽△ABD,得出=,求出PF=,由勾股定理得出OF==3,即可得出OP的長(zhǎng);
(3)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OC⊥AB,證明△OCG∽△EAG,得出==,即==,解得:BG=,CG=5即可.
(1)證明:連接BC,如圖1所示:
∵OF⊥CD,
∴DF=CF,
∴ED=EC,
∵∠DEC=90°,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴∠DCE=∠CDE=45°,
∴∠ABC=∠CDE=45°,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°;
(2)解:連接OC、BD,如圖2所示:
∵DF=CF=1,
∴CD=2,△CDE是等腰直角三角形,
∴ED=EC=,
∵△ACE的面積為△DCE面積的3倍,
∴AE=3DE=3,AD=2,
∴AC===2,
∵AB是半⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵∠BAC=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=AC=2,AB=AC=2,
∴OC=OA=OB=,BD===4=2AD,
∵∠ACD=∠ABD,
∴tan∠ACD=tan∠ABD==;
∵∠PFC=∠ADB=90°,
∴△PCF∽△ABD,
∴=,
即=,
解得:PF=,
∵OF==3,
∴OP=OF﹣PF=;
(3)解:如圖3所示:
∵△ABC是等腰直角三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB,
∴∠COG=90°=∠DEC,
∵∠G=∠G,
∴△OCG∽△EAG,
∴==,
即==,
解得:BG=,CG=5,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】參與兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),再回答問題:
活動(dòng):觀察下列兩個(gè)兩位數(shù)的積兩個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9,個(gè)位上的數(shù)的和等于,猜想其中哪個(gè)積最大?
,,,,,,,,.
活動(dòng):觀察下列兩個(gè)三位數(shù)的積兩個(gè)乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9,十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于,猜想其中哪個(gè)積最大?
,,,,,,.
分別寫出在活動(dòng)、中你所猜想的是哪個(gè)算式的積最大?
對(duì)于活動(dòng),請(qǐng)用二次函數(shù)的知識(shí)證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(1,2),B(3,1)(每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度).
(1)將△OAB向右平移1個(gè)單位后得到△O1A1B1,請(qǐng)畫出△O1A1B1;
(2)請(qǐng)以O為位似中心畫出△O1A1B1的位似圖形,使它與△O1A1B1的相似比為2:1;
(3)點(diǎn)P(a,b)為△OAB內(nèi)一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校號(hào)召全體學(xué)生1200人積極參加義工活動(dòng),小慶隨機(jī)抽取部分學(xué)生一年中參加義工活動(dòng)的次數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
次數(shù) | 10 | 8 | 6 | 5 |
人數(shù) | 3 | a | 2 | 1 |
(1)表中數(shù)據(jù)為多少?并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)計(jì)算被抽取學(xué)生平均一年參加義工活動(dòng)的次數(shù);
(3)估計(jì)全校學(xué)生中參加義工活動(dòng)8次的有多少人?
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【題目】某初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況,隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生的年齡作為樣本,經(jīng)過數(shù)據(jù)整理,繪制出如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.依據(jù)相關(guān)信息解答以下問題:
(1)寫出樣本容量 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)寫出樣本的眾數(shù) 歲,中位數(shù) 歲;
(3)若該校一共有600名學(xué)生.估計(jì)該校學(xué)生年齡在15歲及以上的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx﹣2的圖象相交于A、B兩點(diǎn),如圖所示,其中A(﹣1,﹣1),
(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式.
(2)求△OAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,M為BC上一點(diǎn),連接AM交對(duì)角線BD于點(diǎn)G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求證:AG=BG;
(2)若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),同時(shí)S△BMG=1,求三角形ADG的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=﹣與一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn).
(1)試求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)直線AB交y軸于點(diǎn)C,求tan∠AOC的值;
(3)求△AOB的面積.
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