【題目】如圖,在等腰直角三角形中,,以為一邊向外做平行四邊形,連接,井延長交于,延長交于,且.
(1)如圖1,若,求;
(2)如圖1,求證:;
(3)如圖2,延長交于,連接交于,過作的平行線交于,交于,連接,若,平行四邊形面積為96,.求的長.
【答案】(1)45°;(2)見詳解;(3)FN+AN=5+
【解析】
(1)首先證明四邊形ABDE是菱形,然后利用菱形的性質(zhì)求出∠EDB的度數(shù),進(jìn)而求出∠DAG,∠ECB的度數(shù)最后利用三角形外角的性質(zhì)即可求解;
(2)連接BF,由菱形的性質(zhì)推出△EAF≌△BAF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠EFA=∠BFA=45°,進(jìn)而∠CFB=90°,推出BF2+CF2=BC2,BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2,從而得出BF2+CF2=2DE2
(3)首先通過菱形的面積公式求出BE的長度,進(jìn)面可求出英形的邊長,然后利用三角形中位線的可得出OM,MN.CH的長度,進(jìn)而利用勾股定理即可求出AH的長度,然后由(2)可知∠BFC=90°,根據(jù)中線的性質(zhì)求得FN=BC=5,則答案可解.
解:(1)∵,,
∴AB=BD,
∴平行四邊形ABDE是菱形,
∴AB=BD=DE=EA=AC,
∵DE∥AB,∠BAC=90°
∴∠DGA=90°
∵∠EDA=70°
∴∠DAG=180°-∠EDA-∠DGA=180°-70°-90°=20°=∠CAF
∵DE=EA,
∴∠EDA=∠EAD=70°
∴∠GAE=∠EAD-∠CAF=70°-20°=50°
∵EA=AC,
∴∠AEC=∠ACE
∵∠GAE=∠AEC+∠ACE=2∠ACE=50°
∴∠ACE=25°
∴∠EFD=∠ACE +∠CAF=25°+20°=45°
故答案為:∠EFD=45°
(2)證明:如圖1,連接BF,
∵平行四邊形ABDE是菱形,
∴AE=AB,∴∠EAD=∠BAD=70°
∴∠EAF=∠BAF
在△EAF和△BAF中
∴△EAF≌△BAF(SAS)
∴EF=BF,∠EFA=∠BFA=45°,
∴∠EFB=90°,
∴∠CFB=90°,
∴BF2+CF2=BC2,BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2
∴BF2+CF2=2DE2
(3)如圖2,連接BF
∵S菱形ABDE=AD·BE=96,AD=12
∴BE=16,
∴OE=BE=8,OD=AD=6
∴DE=
∴BC=
∵Rt△OEF是等腰直角三角形,
∴EF=2OE,
由(2)結(jié)論得,CF=2OD
∴EF=8,CF=6
∴EF=14
∵O為BE的中點(diǎn),ON∥EC
∴ON=EC=7
∵
∴MN=ON-OM=
∴CH=
∵∠BAC=90°,
∴∠HAC=90°
∴AH=
由(2)可知:∠BFC=90°,N是BC的中點(diǎn),
∴FN=BC=5,
∴FN+AN=5+
故答案為:FN+AN=5+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)從A地出發(fā)到B地,在直線公路上進(jìn)行騎自行車訓(xùn)練.如圖,反映了甲、乙兩名自行車運(yùn)動(dòng)員在公路上進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)的行駛路程S(千米)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系,下列四種說法:①甲的速度為40千米/小時(shí);②乙的速度始終為50千米/小時(shí);③行駛1小時(shí)時(shí),乙在甲前10千米;④甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員相距5千米時(shí),t=0.5或t=2或t=5.其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別為OB,OD的中點(diǎn)延長AE至G,使EG=AE,連接CG.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)當(dāng)AB=AC時(shí),判斷四邊形EGCF是什么形狀?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【問題情境】
已知矩形的面積為a(a為常數(shù),a>0),當(dāng)該矩形的長為多少時(shí),它的周長最?最小值是多少?
【數(shù)學(xué)模型】
設(shè)該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=2(x+ )(x>0).
【探索研究】
小彬借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),先探索函數(shù)y=x+的圖象性質(zhì).
(1)結(jié)合問題情境,函數(shù)y=x+ 的自變量x的取值范圍是x>0,下表是y與x的幾組對應(yīng)值.
① 寫出m的值;
②畫出該函數(shù)圖象,結(jié)合圖象,得出當(dāng)x=________時(shí),y有最小值,y最小=________;
提示:在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(。┲禃r(shí),除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.試用配方法求函數(shù)y=x+ (x>0)的最小值,解決問題(2).
(2)【解決問題】
直接寫出“問題情境”中問題的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從點(diǎn)O正上方2米的點(diǎn)A處發(fā)出把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(米)與運(yùn)行的水平距離x(米)滿足關(guān)系式y=a(x﹣6)2+h,已知球網(wǎng)與點(diǎn)O的水平距離為9米,高度為2.43米,球場的邊界距點(diǎn)O的水平距離為18米.
(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請說明理由.
(3)若球一定能越過球網(wǎng),又不出邊界.則h的取值范圍是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的弦,OA⊥OD,AB,OD相交于點(diǎn)C,且CD=BD.
(1)判斷BD與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)OA=3,OC=1時(shí),求線段BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),點(diǎn) D,點(diǎn)E分別是 AC,BC的中點(diǎn),將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′,及旋轉(zhuǎn)角為α,連接 AD′,BE′.
(1)如圖①,若 0°<α<90°,當(dāng) AD′∥CE′時(shí),求α的大。
(2)如圖②,若 90°<α<180°,當(dāng)點(diǎn) D′落在線段 BE′上時(shí),求 sin∠CBE′的值;
(3)若直線AD′與直線BE′相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)A1,B1,C1分別是BC、AC、AB的中點(diǎn),A2,B2,C2分別是B1C1,A1C1,A1B1的中點(diǎn),依此類推….若△ABC的周長為1,則△AnBnCn的周長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年10月17日是我國第五個(gè)“扶貧日”,某校學(xué)生會(huì)干部對學(xué)生倡導(dǎo)的“扶貧”自愿捐款活動(dòng)進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù),對學(xué)校部分捐款人數(shù)進(jìn)行調(diào)查和分組統(tǒng)計(jì)后,將數(shù)據(jù)整理成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖,(圖中信息不完整),已知A.B兩組捐款人數(shù)的比為1:5.
被調(diào)查的捐款人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表:
組別 | 捐款額x/元 | 人數(shù) |
A | 1≤x<10 | a |
B | 10≤x<20 | 100 |
C | 20≤x<30 | ______ |
D | 30≤x<40 | ______ |
E | 40≤x | ______ |
請結(jié)合以上信息解答下列問題:
(1)求a的值和參與調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)補(bǔ)全“被調(diào)查的捐款人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)圖1”并計(jì)算扇形B的圓心角度數(shù);
(3)已知該校有學(xué)生2200人,請估計(jì)捐款數(shù)不少于30元的學(xué)生人數(shù)有多少人?
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