在前面的學習中,我們通過對同一面積的不同表達和比較,根據圖1和圖2發(fā)現并驗證了平方差公式和完全平方公式.
這種利用面積關系解決問題的方法,使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化.
【研究速算】
提出問題:47×43,56×54,79×71,…是一些十位數字相同,且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?
幾何建模:
用矩形的面積表示兩個正數的乘積,以47×43為例:
(1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖3,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.
(2)分析:原矩形面積可以有兩種不同的表達方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021.
用文字表述47×43的速算方法是:十位數字4加1的和與4相乘,再乘以100,加上個位數字3與7的積,構成運算結果.
歸納提煉:
兩個十位數字相同,并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是(用文字表述)______.
【研究方程】
提出問題:怎樣圖解一元二次方程x
2+2x-35=0(x>0)?
幾何建模:
(1)變形:x(x+2)=35.
(2)畫四個長為x+2,寬為x的矩形,構造圖4
(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式,(x+x+2)
2或四個長x+2,寬x的矩形面積之和,加上中間邊長為2的小正方形面積.
即(x+x+2)
2=4x(x+2)+2
2∵x(x+2)=35
∴(x+x+2)
2=4×35+2
2∴(2x+2)
2=144
∵x>0
∴x=5
歸納提煉:求關于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并注明相關線段的長)
【研究不等關系】
提出問題:怎樣運用矩形面積表示(y+3)(y+2)與2y+5的大小關系(其中y>0)?
幾何建模:
(1)畫長y+3,寬y+2的矩形,按圖5方式分割
(2)變形:2y+5=(y+3)+(y+2)
(3)分析:圖5中大矩形的面積可以表示為(y+3)(y+2);陰影部分面積可以表示為(y+3)×1,畫點部分的面積可表示為y+2,由圖形的部分與整體的關系可知(y+3)(y+2)>(y+3)+(y+2),即(y+3)(y+2)>2y+5
歸納提煉:
當a>2,b>2時,表示ab與a+b的大小關系.
根據題意,設a=2+m,b=2+n(m>0,n>0),要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長)