如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.

（1）求證：四邊形OCED為菱形；

（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請說明理由.

如圖1，在一個不透明的袋子中裝有四個球，分別標有字母A、B、C、D，這些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四張正方形卡片，每張卡片兩面的字母相同，分別標有字母A、B、C、D。最初，擺成如圖2的樣子，A、D是黑色，B、C是白色.

兩次操作后觀察卡片的顏色。

（如：第一次取出A、第二次取出B，此時卡片的顏色變成）

（1）取四張卡片變成相同顏色的概率；

（2）求四張卡片變成兩黑兩白、并恰好形成各自顏色的矩形的概率.

小明在某商店購買商品A、B共三次，只有一次購買時，商品同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買商品A、B的數(shù)量和費用如下表：

（1）小明以折扣價購買商品是第 次購物.

（2）求商品A、B的標價.

（3）若品A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？

在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同的旋轉(zhuǎn)速度返回A、B，到達后立即重復上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處開始旋轉(zhuǎn)計時，旋轉(zhuǎn)1秒， 時光線AP交BC于點M，BM的長為（）cm.

（1）求AB的長；

（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？并說明理由.

為了考察冰川融化的狀況，一支科考隊在某冰川上設(shè)一定一個以大本營O為圓心，半徑為4km 圓形考察區(qū)域，線段P1、P2是冰川的部分邊界線（不考慮其它邊界），當冰川融化時，邊界線沿著與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動.若經(jīng)過n年，冰川的邊界線P1P2移動的距離為s(km),并且s與n（n為正整數(shù)）的關(guān)系是.以O(shè)為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，其中P1、P2的坐標分別是（–4，9）、（–13，–3）.

（1）求線段P1P2所在的直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求冰川的邊界線移動到考察區(qū)域所需要的最短時間.

已知二次函數(shù)，其圖像拋物線交軸的于點A（1，0）、B（3，0），交y軸于點C.直線過點C，且交拋物線于另一點E（點E不與點A、B重合）.

(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式；

(2)若直線經(jīng)過拋物線頂點D，交軸于點F，且∥，則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由.

(3)若過點A作AG⊥軸，交直線于點G，連OG、BE，試證明OG∥BE.

某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8.

問題思考：

如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.

（1）在點P運動時，這兩個正方形面積之和是定值嗎？如果時求出；若不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值.

（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點A，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.

問題拓展：

（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長。

(4)如圖（3），在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BM=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.

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計算： ．

化簡： ．