【題目】解答題
(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:ADBC=APBP;

(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.

(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題:
如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠CPD=∠A,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)DC=4BC時(shí),求t的值.

【答案】
(1)

解:如圖1,

∵∠DPC=∠A=∠B=90°,

∴∠ADP+∠APD=90°,

∠BPC+∠APD=90°,

∴∠ADP=∠BPC,

∴△ADP∽△BPC,

= ,

∴ADBC=APBP;


(2)

結(jié)論ADBC=APBP仍然成立.

理由:如圖2,

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.

∵∠DPC=∠A=∠B=θ,

∴∠BPC=∠ADP,

∴△ADP∽△BPC,

=

∴ADBC=APBP;


(3)

如圖3,

∵DC=4BC,

又∵AD=BD=5,

∴DC=4,BC=1,

,由(1)、(2)的經(jīng)驗(yàn)可知ADBC=APBP,

∴5×1=t(6﹣t),

解得:t1=1,t2=5,

∴t的值為1秒或5秒.


【解析】(1.)如圖1,由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(2.)如圖2,由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(3.)如圖3,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3,根據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=5﹣4=1.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.

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A.
B.
C.
D.

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銷售時(shí)段

銷售數(shù)量

銷售收入

A種型號(hào)

B種型號(hào)

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3臺(tái)

4臺(tái)

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5臺(tái)

6臺(tái)

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(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤(rùn)=銷售收入﹣進(jìn)貨成本)
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