Question

5．已知α，b，c均為正數(shù)，且a+b+2c=1，則$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$）[（a+b）+2c]=3+$\frac{2c}{a+b}$+$\frac{a+b}{c}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵α，b，c均為正數(shù)，且（a+b）+2c=1，
∴$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$）[（a+b）+2c]
=3+$\frac{2c}{a+b}$+$\frac{a+b}{c}$≥3+2$\sqrt{\frac{2c}{a+b}•\frac{a+b}{c}}$=3+2$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2c}{a+b}$=$\frac{a+b}{c}$即a+b=$\sqrt{2}$c時(shí)取等號(hào)．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，整體代入是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．