Question

11．設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=ax²+bx-a²（a＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）用a表示b²，并求出a的取值范圍．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-2a（x-x₁），當(dāng)x₁＜x＜2且x₁＜0時(shí)，證明：|h（x）|≤4a．

Answer 1

分析 （1）借助條件：“|x₁|+|x₂|=2”由此入手建立b²=4a²-4a³，再由b²≥0，從而能夠求出a的取值范圍．
（2）h（x）=f（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜2，x-x₂-2＜0，由此結(jié)合基本不等式能夠證明|g（x）|≤4a．

解答 （1）解：∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）=ax²+bx-a²（a＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)
∴x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-$\frac{a}$，
由條件|x₁|+|x₂|=2平方，可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-2（-a）+2a=4，
∴b²=4a²-4a³ 
∵b²≥0，∴4a²-4a³≥0，
∴0＜a≤1；
（2）證明：∵x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
∴h（x）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2）
∴|h（x）|=a|x-x₁||x-x₂-2|≤$a[\frac{|x-{x}_{1}|+|x-{x}_{2}-2|}{2}]^{2}$
∵x＞x₁，∴x-x₁＞0．
又∵x₁＜0，∴x₁ x₂＜0，∴x₂＞0．∴x₂+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x₂-2＜0 
∴|h（x ）|≤$a（\frac{{x}_{2}-{x}_{1}+2}{2}）^{2}$．
又∵|x₁|+|x₂|=2，且x₁＜0，x₂＞0，∴x₂-x₁=2．
將其代入上式得|h（x ）|≤4a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．