Question

16．已知函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$的最大值為1．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）若A為△ABC的內(nèi)角，$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$f（A）=\sqrt{3}-1$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，AB=$2\sqrt{3}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a由最大值為1可2+a=1，解方程可得；
（Ⅱ）由題意和（Ⅰ）可得$A=\frac{π}{6}$，由三角形的面積公式可得b=2，再由余弦定理可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a
由最大值為1可2+a=1，解得a=-1，
∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）-1$；
（Ⅱ）由$f（A）=2sin（A+\frac{π}{6}）-1=\sqrt{3}-1$，$A∈（{0，\frac{π}{2}}）$，得$A=\frac{π}{6}$，
∵$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，∴b=2，∵a²=b²+c²-2bccosA=4，
∴a=2，即BC的長為2．

點(diǎn)評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．