Question

6．若（1+x）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{2}}$）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{3}}$）ⁿ+…+（1+x${\;}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中x的系數(shù)是a_n，展開式中所有項的系數(shù)和為b_n，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{_{n}}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出a_n、b_n，再求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{_{n}}$的值．

解答 解：（1+x）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{2}}$）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{3}}$）ⁿ+…+（1+x${\;}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中x的系數(shù)是
a_n=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{3}$+…+${C}_{n}^{n}$=2ⁿ-1，
展開式中所有項的系數(shù)和為b_n=2ⁿ+2ⁿ+2ⁿ+…+2ⁿ=n•2ⁿ；
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{（2}^{n}-1）}{n{•2}^{n}}$=1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了用賦值法求二項展開式系數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了極限的計算問題，是基礎(chǔ)題目．