Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-{a^{-x}}）\;（a＞0且a≠1）$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷其單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，求出m的范圍．

解答 解：（1）在函數(shù)f（x）的定義域R上任取一自變量x
因?yàn)?f（-x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^{-x}}-{a^x}）$=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；┅（3分）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，在[-1，1]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}}-{a^{x_2}}+{a^{-{x_2}}}}）$
=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^{x_1}}-{a^{x_2}}}）（{1+\frac{1}{{{a^{x_1}}{a^{x_2}}}}}）$，
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]時(shí)為增函數(shù)，┅（4分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理可證函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]時(shí)為增函數(shù)，
$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a-{a^{-1}}}）=1$，
所以m≤1┅（3分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，是一道基礎(chǔ)題．