Question

14．已知△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，P點在平面ABC內(nèi)，且$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-9，則|$\overrightarrow{PA}$|的取值范圍為[1，4+$\sqrt{7}$]．

Answer 1

分析 由已知得到三角形為直角三角形，構(gòu)建坐標(biāo)系，求出點P的軌跡方程，由此可以判斷|$\overrightarrow{PA}$|的取值范圍．

解答 解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴AB²+BC²=BC²，
∴AB⊥AC，
以A為原點，以AB為x軸，以AC為y軸，建立坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（8，0），C（0，6），
設(shè)P（x，y），（0＜x＜8，0＜y＜6），
∴$\overrightarrow{PB}$=（8-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（-x，6-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-8x+x²-6y+y²=-9，即（x-4）²+（y-3）²=16，
∵|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴當(dāng)P點在AD的連線上時，|$\overrightarrow{PA}$|的取值最小，
∴|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{AD}$|-|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$-4=5-4=1，
當(dāng)P點在x軸上時，|$\overrightarrow{PA}$|的取值最大，
即（x-4）²+（0-3）²=16，
解得x=4+$\sqrt{7}$或x=4-$\sqrt{7}$舍去，
故|$\overrightarrow{PA}$|的取值范圍為[1，4+$\sqrt{7}$]
故答案為：[1，4+$\sqrt{7}$]．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，考查運算能力，屬于中檔題．