Question

17．（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大�。�（2）已知平面α，β，直線a，且α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，試判斷直線α與平面β的位置關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大�。�
（2）過直線a作平面γ與平面α垂直，與β直交，記為直線n，由a⊥交線n，a⊥AB，能證明a⊥β．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°，
∴直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大小為30°．
（2）∵平面α，β，直線a，
且α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，
∴過直線a作平面γ與平面α垂直，與β直交，記為直線n，
則a⊥交線n，
∵a⊥AB，a與n相交，∴a⊥β．

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法，考查線面關(guān)系的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．