17.(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1B1CD所成的角的大。2)已知平面α,β,直線a,且α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,試判斷直線α與平面β的位置關(guān)系并證明.

分析 (1)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線A1B和平面A1B1CD所成的角的大。
(2)過直線a作平面γ與平面α垂直,與β直交,記為直線n,由a⊥交線n,a⊥AB,能證明a⊥β.

解答 解:(1)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為1,
則A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0),
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=(0,1,-1),$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{DC}$=(0,1,0),
設(shè)平面A1B1CD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,-1),
設(shè)直線A1B和平面A1B1CD所成的角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,∴θ=30°,
∴直線A1B和平面A1B1CD所成的角的大小為30°.
(2)∵平面α,β,直線a,
且α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,
∴過直線a作平面γ與平面α垂直,與β直交,記為直線n,
則a⊥交線n,
∵a⊥AB,a與n相交,∴a⊥β.

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法,考查線面關(guān)系的判斷與證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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