Question

9．（重點(diǎn)中學(xué)做）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則 z=x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． [2，2$\sqrt{5}$]
• B． [10，20]
• C． [4，20]
• D． [$\frac{18}{5}$，20]

Answer 1

分析 由約束條件作出平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，由z=x²+y²的幾何意義得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
由圖可知，可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為d=$\frac{|-6|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{6\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得A（4，2），
|OA|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴z=x²+y²的取值范圍是：[$\frac{18}{5}，20$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．