分析 (1)利用遞推關(guān)系可得:2an-an-1=2,變形為:an-2=$\frac{1}{2}({a}_{n-1}-2)$,即可證明.
(2)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(3)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答 (1)證明:∵an+Sn=2n+1,∴當(dāng)n=1時,2a1=3,解得a1=$\frac{3}{2}$.
當(dāng)n≥2時,an-1+Sn-1=2(n-1)+1,
∴2an-an-1=2,
變形為:an-2=$\frac{1}{2}({a}_{n-1}-2)$,
∴數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$,公比為$\frac{1}{2}$.
(2)解:由(1)可得:an-2=$-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{n-1}$=-$(\frac{1}{2})^{n}$,
∴an=2-$(\frac{1}{2})^{n}$,
(3)解:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-$\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=2n-1+$(\frac{1}{2})^{n}$.
點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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