Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+S_n=2n+1．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得：2a_n-a_n-1=2，變形為：a_n-2=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，即可證明．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+S_n=2n+1，∴當(dāng)n=1時，2a₁=3，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n≥2時，a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，
∴2a_n-a_n-1=2，
變形為：a_n-2=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，
∴數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：a_n-2=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
（3）解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n-$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=2n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．