Question

12．已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP，∠BAC=90°，D、E分別是AB，PC的中點(diǎn)，BF=2FC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為它的中心，$PB=PC=\sqrt{2}$，D為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面AEF；
（2）求AC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、PG，DG∥AF，EF∥PG，從而平面PDG∥平面AEF，由此能證明PD∥平面AEF．
（2）取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，則EH⊥平面ABC，過(guò)H作HM⊥AF于M，連結(jié)EM，過(guò)H作HN⊥EM于N，連結(jié)AN，則∠HAN為AC于平面AEF所成的角，由此能求出AC與平面AEF所成角的正弦值．

解答 證明：（1）取BF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、PG，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴DG∥AF，又BF=2FC，∴F為CG的中點(diǎn)，
又E為PC的中點(diǎn)，∴EF∥PG，
又EF∩AF=F，∴平面PDG∥平面AEF，
∴PD∥平面AEF．
解：（2）取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，則EH⊥平面ABC，
過(guò)H作HM⊥AF于M，連結(jié)EM，
∴AF⊥平面EHM，∴平面AEF⊥平面EHM，
過(guò)H作HN⊥EM于N，即HN⊥平面AEF，
連結(jié)AN，則∠HAN為AC于平面AEF所成的角，
在等腰Rt△ABC中，設(shè)AC=1，則CF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∠ACB=$\frac{π}{4}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cos$∠CAF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AHM中，HM=AH•sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{10}$，
在Rt△EHM中，EH=$\frac{1}{2}$，EM=$\sqrt{E{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，即HN=$\frac{EH×MH}{EM}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，
在Rt△AHN中，sin∠HAN=$\frac{NH}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴AC與平面AEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．