Question

1．已知函數(shù)f（x）=3ax²-2（a-b+1）x-b，a，b∈R，x∈[-1，1]．
（1）若a=1，b=4．試求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記|f（x）|的最大值為M，對任意的|a|≤1，|b|≤1，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a，b，得到函數(shù)f（x）的解析式，由此得到在區(qū)間里的單調(diào)性，由此得到最值．
（2）首先對a進行分類討論，再對對稱軸進行分類討論，得到f（x）的最值．由此得到M的最值．

解答 解：（1）a=1，b=4時，
f（x）=3x²+4x-4=3（x+$\frac{2}{3}$）²-$\frac{8}{3}$，
軸x=-$\frac{2}{3}$，x∈[-1，1]，
∴x=-$\frac{2}{3}$，f（x）_min=-$\frac{8}{3}$，
x=1，f（x）_max=3，
∴f（x）的值域為[-$\frac{8}{3}$，3]；
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=2（b-1）x-b∈[b-2，2-3b]，所以此時|f（x）|≤5；
當(dāng)a＜0時，對稱軸x=$\frac{a-b+1}{3a}$≤$\frac{1}{3}$
①$\frac{a-b+1}{3a}$≤-1，即b≤1+4a時，f（x）∈[a+b-2，5a-3b+2]，此時-4≤f（x）≤5，即|f（x）|≤5；
②$\frac{a-b+1}{3a}$＞-1，即b＞1+4a時，f（x）≤-b-$\frac{（a+b+1）^{2}}{3a}$＜-b-3a≤4，
又f（x）≥min{a-b+2，5a-3b+2}≥-6，所以|f（x）|≤6；
當(dāng)a＞0時，對稱軸x=$\frac{a-b+1}{3a}$≥$\frac{1}{3}$，
①$\frac{a-b+1}{3a}$≥1，即b≤1-2a時，f（x）≤5a-3b+2≤10，
f（x）≥a+b-2≥-3，所以|f（x）|≤10
②$\frac{a-b+1}{3a}$＜1，即b＞1-2a時，f（x）≤5a-3b+2≤10，
f（x）≥-b-$\frac{（a+b+1）^{2}}{3a}$≥-b-3a≥-4，所以|f（x）|≤10，
綜上，M的最大值為10，當(dāng)a=1，b=-1，x=-1時取到．

點評 本題主要考察二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要涉及對稱軸和單調(diào)性．需數(shù)形結(jié)合．