Question

18．已知函數(shù)f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）無零點，則a²+b²的取值范圍為[0，$\frac{{π}^{2}}{4}$）．

Answer 1

分析 把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為cos（asinx）=sin（bcosx）都無解，即可得出$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+α）=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈z），再利用函數(shù)的有界性求解得出不等式即可．

解答 解：根據(jù)題意函數(shù)f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）無零點，
得出cos（asinx）=sin（bcosx）無解，
若方程有解，則asinx+bcosx=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈z）
所以$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+α）=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈z），
∴|$\frac{\frac{π}{2}+2kπ}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$|≤1，即$\frac{\frac{π}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≤1，即a²+b²≥$\frac{{π}^{2}}{4}$，
因此要使函數(shù)f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）無零點，則0≤a²+b²$＜\frac{{π}^{2}}{4}$
故答案為：[0，$\frac{{π}^{2}}{4}$）

點評 本題考查了函數(shù)零點，方程的根求解注意轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)的有界性，誘導公式的靈活運用，屬于中檔題．