Question

8．如圖，C是圓O的直徑AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，與圓O相交于點(diǎn)D，與弦AF交于點(diǎn)E，與BF的延長線相交于點(diǎn)G．GT與圓相切于點(diǎn)T．
（I）證明：CD²=CE•CG；
（Ⅱ）若AC=CO=1，CD=3CE，求GT．

Answer 1

分析 （I）延長DC與圓O交于點(diǎn)M，利用相交弦定理，三角形相似的性質(zhì)，即可證明：CD²=CE•CG；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得CG=3CD，利用切割線定理求GT．

解答 （Ⅰ）證明：延長DC與圓O交于點(diǎn)M，
因?yàn)镃D⊥AB，
所以CD²=CD•CM=AC•BC，
因?yàn)镽t△ACE∽R(shí)t△GBC，所以$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CG}{BC}$，
即AC•BC=CE•CG，故CD²=CE•CG．…（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)锳C=CO=1，所以CD²=AC•BC=3，
又CD=3CE，由（Ⅰ）得CG=3CD，
GT²=GM•GD=（CG+CM）•（CG-CD）=（CG+CD）•（CG-CD）
=CG²-CD²=8CD²=24，故GT=2$\sqrt{6}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查相交弦定理，三角形相似的性質(zhì)，考查切割線定理，考查相似分析解決問題的能力，屬于中檔題．