已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（
x1
x2
）=f（x1）-f（x2），且當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．
考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）令x1=x2，即可得到f（1）；
（2）令0＜x1＜x2，則0＜
x1
x2
＜1，由條件得到f（
x1
x2
）＞0，再根據(jù)條件得到f（x1）-f（x2）＞0，由單調(diào)性定義即可；
（3）求出f（9）=2f（3）=-2．再由單調(diào)性，即可得到最小值．
解答： 解：（1）令x1=x2，則f（1）=0；
（2）令0＜x1＜x2，則0＜
x1
x2
＜1，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＞0，
則f（
x1
x2
）＞0，
∵f（
x1
x2
）=f（x1）-f（x2），
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）∵f（3）=-1，
∴f（
9
3
）=f（9）-f（3），
即f（9）=2f（3）=-2．
∵f（x）在[2，9]上遞減，
∴f（9）最小，且為-2．
點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，注意運用定義證明單調(diào)性，同時考查賦值法求抽象函數(shù)值，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義集合A與B的運算“*”為：A*B={x|x∈A或x∈B，但x∉A∩B}，按此定義，（X*Y）*Y=（　　）
A、XB、YC、X∩YD、X∪Y

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
ex-1，x＜1
x
1
3
，x≥1
，則使得f（x）≤2成立的x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，1]
B、（-∞，1+ln2]
C、（-∞，8]
D、[1，8）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p；?x∈R，x≥2，那么命題￢p為（　　）
A、?x∈R，x≤2
B、?x0∈R，x0＜2
C、?x∈R，x≤-2
D、?x0∈R，x0＜-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在使f（x）≥M成立的所有常數(shù)M中，把M的最大值叫做f（x）的“下確界”，例如f（x）=x2+2x≥M，則Mmin=-1，故-1是f（x）=x2+2x的下確界，那么
a2+b2
(a+b)2
（其中a，b∈R，且a，b不全為的0下確界是（　　）
A、2
B、
1
2
C、4
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個數(shù)列從第2項開始，每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列．已知等和數(shù)列{an}的第一項為2，公和為7，求這個數(shù)列的通項公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
p
•
q
，而
p
=（2-4sin2
ωx
2
，1），
q
=（cosωx，
3
sin2ωx）（x∈R）．
（1）若f（
π
3
）最大，求ω能取到的最小正數(shù)值；
（2）對（1）中的ω，若f（x）=2
3
sinx+1且x∈（0，
π
2
），求tanx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）對于實數(shù)x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求|x-2y+1|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），當(dāng)x∈（-3，2）時，f（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，3]上的值域．

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