Question

15．已知直線l：2x-y=3，若矩陣A=$（\begin{array}{l}{-1}&{a}\\&{3}\end{array}）$a，b∈R所對應(yīng)的變換σ把直線l變換為它自身．
（Ⅰ）求矩陣A；                  
（Ⅱ）求矩陣A的逆矩陣．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)直線2x-y=3上任意一點P（x，y），利用其在A的作用下變?yōu)椋▁′，y′），可用x、y表示出x′、y′，代入2x′-y′=3，計算即可；
（Ⅱ）直接計算即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點，
其在A的作用下變?yōu)椋▁′，y′），
則$[\begin{array}{l}{-1}&{a}\\&{3}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-x+ay}\\{bx+3y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x+ay}\\{y′=bx+3y}\end{array}\right.$，
代入2x′-y′=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3，
∵其與2x-y=3完全一樣，∴$\left\{\begin{array}{l}{-b-2=2}\\{2a-3=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴矩陣A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{-4}&{3}\end{array}]$；
（Ⅱ）∵$|\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{-4}&{3}\end{array}|$=1，∴矩陣M的逆矩陣為A^-1=$[\begin{array}{l}{3}&{-1}\\{4}&{-1}\end{array}]$．

點評 本題主要考查矩陣變換的性質(zhì)，考查二階矩陣的乘法，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．