Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為A₁B₁的中點，則下列五個命題：
①點E到平面ABC₁D₁的距離為 

1

2

；
②直線BC與平面ABC₁D₁所成的角為45°；
③空間四邊形ABCD₁在正方體六個面內(nèi)形成的六個射影平面圖形，其中面積最小值是 

1

2

； 
④AE與DC₁所成的角的余弦值為 

3 10

10

；
⑤二面角A-BD₁-C的大小為 

5π

6

．
其中真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①由線面平行得，B₁到平面ABC₁D₁的距離即點E到平面ABC₁D₁的距離，再由線面垂直得到B₁F，即為所求；
②根據(jù)線面所成的角定義，先作出，再計算即可；
③根據(jù)射影概念，得到各個面內(nèi)的射影，分別計算面積，比較即可；
④由異面直線所成的角的定義，連接連接AB₁，再運用余弦定理即可得到；
⑤運用二面角的平面角的定義，在直角三角形BAD₁中過A作AH垂直于BD₁，連接CH，可得到∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，運用余弦定理即可得到．

解答： 解：①由于A₁B₁∥平面ABC₁D₁，
故B₁到平面ABC₁D₁的距離即點E到平面ABC₁D₁的距離，
連接B₁C交BC₁于F，則易得B₁F垂直于平面ABC₁D₁，
而B₁F=

2

2

，故點E到平面ABC₁D₁的距離為

2

2

，
故①錯；
②易得B₁C垂直于平面ABC₁D₁，
故∠CBC₁為直線BC與平面ABC₁D₁所成的角，
且為45°，故②正確；
③易得空間四邊形ABCD₁在正方體的面ABCD、
面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的射影面積為1，在面BB₁C₁C內(nèi)、面AA₁D₁D內(nèi)的射影面積為

1

2

，在面ABB₁A₁內(nèi)、面CC₁D₁D內(nèi)的射影面積為

1

2

，故③正確；
④連接AB₁，則∠EAB₁為AE與DC₁所成的角，由余弦定理得，cos∠EAB₁=

2+ 5 4 - 1 4

2× 2 × 5 2

=

3 10

10

，故④正確；
⑤在直角三角形BAD₁中過A作AH垂直于BD₁，連接CH，易知CH垂直于BD₁，故∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=

2 3 + 2 3 -2

2× 6 3 × 6 3

=-

1

2

，故∠AHC=

2π

3

，故⑤錯．
故答案為：②③④

點評：本題主要考查空間角：異面直線所成的角和線面角，以及二面角的求法，考查空間的距離：點到平面的距離，注意運用定義在解題中的運用，同時考查運算能力，屬于一道綜合題．