Question

2．已知函數(shù) f（x）=x|x-a|+b
（1）若a=1，b=0，求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（2）若b=0且函數(shù)f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設常數(shù)$b＜2\sqrt{2}-3$，若對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對值，討論x的范圍，由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得減區(qū)間；
（2）去絕對值，對a討論，結(jié)合對稱軸和區(qū)間[3，+∞），即可得到a的范圍；
（3）當x=0時，b＜0恒成立；當x∈（0，1]時，可化為$x+\frac{x}＜a＜x-\frac{x}$對x∈（0，1]恒成立，運用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值，進而得到b的范圍．

解答 解：（1）若a=1，b=0，則f（x）=x|x-1|，
當x≥1時，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在[1，+∞）遞增，
當x＜1時，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$在（$\frac{1}{2}$，1）遞減．
故f（x）的減區(qū)間為$（{\frac{1}{2}，1}）$；
（2）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$．
由函數(shù)f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
則a=0顯然成立，a＜0，x≥0遞增，顯然成立；
當0＜a≤3時，由x²-ax=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$在[a，+∞）遞增，成立；
當a＞3時，不成立．
則a的范圍是a≤3；
（3）當x=0時，b＜0恒成立；
當x∈（0，1]時，可化為$x+\frac{x}＜a＜x-\frac{x}$對x∈（0，1]恒成立，
只需滿足${（{x+\frac{x}}）_{max}}＜a＜（{x-\frac{x}}）min$，
當b＜-1時，$y=x+\frac{x}$在x∈（0，1]遞增，
所以${（{x+\frac{x}}）_{max}}=1+b$，
$y=x-\frac{x}$在x∈（0，1]遞減，
所以$（{x-\frac{x}}）min=1-b$，
所以a∈（1+b，1-b）
當$-1≤b＜2\sqrt{2}-3$時，$（{x-\frac{x}}）min=2\sqrt{-b}$，
所以$1+b＜a＜2\sqrt{-b}$．

點評 本題考查絕對值函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時不等式的恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力和分類討論的思想方法，屬于中檔題．