Question

6．已知拋物線頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M（a，4）到焦點的距離等于5．
（1）求拋物線的方程和a值；
（2）過拋物線內點P（1，4）引一弦，使弦被P平分，求該弦所在的直線方程及弦長．

Answer 1

分析 （1）通過設拋物線方程為x²=2py，利用拋物線定義可知p=2，進而可得拋物線方程，通過將點M（a，4）代入拋物線方程可知a=±4；
（2）通過設交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$與${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$作差，結合中點坐標公式可知直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，利用點斜式可得弦所在直線，進而利用韋達定理及兩點間距離公式計算即得弦長．

解答 解：（1）依題意，設拋物線方程為：x²=2py，
又∵4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴拋物線的方程為：x²=4y，
又∵點M（a，4）在此拋物線上，
∴a²=16，a=±4；
（2）設交點為A、B，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（1）可知，${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$、${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$，
兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∵直線AB的斜率存在，且點P為AB的中點，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
于是該弦所在的直線方程為：y-4=$\frac{1}{2}$（x-1），
聯立直線與拋物線方程，整理得：x²-2x-14=0，
∴x₁x₂=-14，
于是|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{{2}^{2}+4×14}$
=5$\sqrt{3}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，涉及中點坐標公式、韋達定理、兩點間距離公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．