Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，x≥0\\ sin（{πx}），x＜0\end{array}\right.$，若f（x）-mx≥-1恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：若f（x）-mx≥-1恒成立，
則若f（x）+1≥mx恒成立，
即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）+1≥mx等價(jià)為x²+2x+1≥mx，即（x+1）²≥mx，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）+1≥mx等價(jià)為sin（πx）+1≥mx，
設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，}&{x≥0}\\{sin（πx）+1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
當(dāng)m＜0時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)m=0時(shí)，滿足條件．
當(dāng)m＞0時(shí)，當(dāng)直線y=mx與y=（x+1）²在x＞0相切時(shí)，
滿足x²+2x+1=mx，
即x²+（2-m）x+1=0，
則判別式△=（2-m）²-4=0，
得m-2=2或m-2=-2，得m=4或m=0（舍），
∴要使f（x）-mx≥-1恒成立，則0≤m≤4，
則實(shí)數(shù)m的最大值為4，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)與不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．