Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos²x+cos²（x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡進行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的最值的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）由已知，有$f（x）=\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{1+cos（{2x+\frac{2π}{3}}）}}{2}=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}（{-\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}）+1$=$\frac{1}{4}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+1=\frac{1}{2}cos（{2x+\frac{π}{3}}）+1$．…（5分）
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，…（6分）
當$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$時，f（x）單調(diào)遞增，
解得：$x∈[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$．…（8分）
（2）由（1）可知，f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{3}，-\frac{π}{6}]$上是減函數(shù)，
在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上是增函數(shù)，
而$f（-\frac{π}{3}）=\frac{5}{4}$，f（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，…（11分）
所以f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$上的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為$\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的倍角公式以及三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡是解決本題的關鍵．