Question

1．已知點P是函數(shù)y=1-x²的圖象上位于第一象限內(nèi)的一動點，過點P作此函數(shù)圖象的切線l，直線l與x，y軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，設(shè)點P的橫坐標為t，△AOB的面積為f（t）．
（1）求函數(shù)f（t）表達式及定義域；
（2）求f（t）取最小值時切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令x=0，y=0，可得B，A的坐標，再由面積公式即可得到所求解析式和定義域；
（2）求出f（t）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值和最值，可得切點的橫坐標，代入點斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)y=1-x²的導(dǎo)數(shù)為y'=-2x，
得切線的斜率為k_l=-2t，又P（t，1-t²），
即有直線l的方程為y-1+t²=-2t（x-t），
令x=0得B（0，t²+1），
令y=0得A（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，0），又0＜t＜1，
則S_△AOB=f（t）=$\frac{1}{2}$（（1+t²）（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$）=$\frac{1}{4}$（t³+2t+$\frac{1}{t}$），定義域為（0，1）；
（2）f′（t）=$\frac{1}{4}$（3t²+2-$\frac{1}{{t}^{2}}$）=$\frac{3{t}^{4}+2{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$，
由f'（t）=0及0＜t＜1得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又0＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$時f′（t）＜0，f（t）為減函數(shù)，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜t＜1時f′（t）＞0，f（t）為增函數(shù)，
當t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時f（t）取最小值，
此時切線l方程為$y-1+\frac{1}{3}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
即y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4}{3}$..

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查三角形的面積的解析式，以及最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)求解，考查運算能力，屬于中檔題．