Question

14．已知F為拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C的準(zhǔn)線上，且在x軸上方，線段EF的垂直平分線于C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M（-2，-3），與C交于點(diǎn)P，則△PEF的面積為（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 5
• C． 10
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出E的坐標(biāo)（-2，m），利用EF與PM垂直求得m的值，進(jìn)而可求直線PM方程，與拋物線方程聯(lián)立可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式及三角形的面積公式即可求得△PEF的面積．

解答 解：依題意，F(xiàn)（2，0）、準(zhǔn)線方程為：x=-2，
設(shè)E（-2，m）（m＞0），則EF中點(diǎn)為G（0，$\frac{m}{2}$），k_EF=$\frac{m-\frac{m}{2}}{-2-0}$=-$\frac{m}{4}$，
又∵M(jìn)（-2，-3），PM⊥EF，
∴-$\frac{m}{4}$•$\frac{\frac{m}{2}+3}{0+2}$=-1，即m=2或m=-8（舍），
∴G（0，1），直線GM的方程為：2x-y+1=0，
聯(lián)立直線GM與拋物線方程，化簡得：y²-4y+4=0，
解得：y=2，P（$\frac{1}{2}$，2），
S_△PEF=$\frac{1}{2}$|EF||PG|
=|GF||PG|
=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$•$\sqrt{\frac{1}{{2}^{2}}+{（2-1）}^{2}}$
=$\frac{5}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，屬于中檔題．