15.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2b,又sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求cos(B+C)的值;
(Ⅱ)若${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$,求c的值.

分析 (Ⅰ)利用等差數(shù)列以及正弦定理以及已知條件,通過(guò)兩角和的余弦函數(shù)以及余弦定理求cos(B+C)的值;
(Ⅱ)利用第一問(wèn)的結(jié)果,通過(guò)${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$,即可求c的值.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,∴sinA+sinB=2sinC,(1分)
由正弦定理得a+b=2c,(3分)
又a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,(4分)]
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$,(6分)
∵A+B+C=π,∴B+C=π-A,
∴$cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA=\frac{1}{4}$.(8分)
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,(9分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$,(10分)
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$,解得$c=4\sqrt{2}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,兩角和的三角函數(shù),考查計(jì)算能力.

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