Question

5．三棱錐S-ABC中，側棱SA⊥平面ABC，底面ABC是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，SA=2$\sqrt{3}$，則該三棱錐的外接球體積等于$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 由已知結合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以SA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，得球的半徑R，然后求解體積．

解答 解：根據(jù)已知中側棱SA⊥平面ABC，底面ABC是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，SA=2$\sqrt{3}$，
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以SA為高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=$\frac{1}{2}$SA=$\sqrt{3}$，
故球的半徑R=$\sqrt{1+3}$=2．
三棱錐S-ABC外接球的體積為：$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}$π．
故答案為：$\frac{32}{3}$π．

點評 本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑R公式是解答的關鍵．