Question

17．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是同一個平面α內的兩個向量，則（　�。�

• A． 平面α內任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
• B． 若存在實數λ₁，λ₂，使λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，則λ₁=λ₂=0
• C． 若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，則空間任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
• D． 若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，則平面任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）

Answer 1

分析 根據平面向量基本定理知，需滿足$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，從而有平面α內的任意向量都可用$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$表示，而空間的任一向量不能用這兩向量表示，從而判斷出D正確．

解答 解：A．只有$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線時，才有$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{{e}_{1}}+μ\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴該選項錯誤；
B．若$\overrightarrow{{e}_{1}}=\overrightarrow{{e}_{2}}$，則由${λ}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{λ}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}=0$得到λ₁+λ₂=0，λ₁，λ₂可以不為0，∴該選項錯誤；
C．根據平面向量基本定理，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線時，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$只能表示平面α內任意的一個向量，而不能表示空間的任一向量；
∴該選項錯誤，D正確．
故選；D．

點評 考查平面向量基本定理所具備的條件：$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，才對平面內任一向量$\overrightarrow{a}$都存在唯一的有序數對（λ，μ）來表示$\overrightarrow{a}$，要清楚向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．