Question

9．已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=1+3i-z．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若z₁=$\frac{（1+i）^{2}（-7+24i）}{2z}$，求$\overline{{z}_{1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，化為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-1-3i+a+bi=0，利用復(fù)數(shù)相等即可得出．
（II）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-1-3i+a+bi=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}+a-1=0}\\{b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=3．
∴z=-4+3i．
（Ⅱ）z₁=$\frac{（1+i）^{2}（-7+24i）}{2z}$=$\frac{2i（-7+24i）}{2（-4+3i）}$=$\frac{24+7i}{4-3i}$=$\frac{（24+7i）（4+3i）}{（4-3i）（4+3i）}$=$\frac{75+100i}{25}$=3+4i，
∴$\overline{{z}_{1}}$=3-4i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．