Question

19．已知函數(shù)f（x）=m-$\frac{1}{{5}^{x}+1}$
（1）若f（x）是R上的奇函數(shù)，求m的值
（2）用定義證明f（x）在R上單調(diào)遞增
（3）若f（x）值域?yàn)镈，且D⊆[-3，1]，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義可得f（x）+f（-x）=0恒成立，由此可求得m值；
（2）設(shè) x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，利用作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（3）先根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求出值域D，然后由D⊆[-3，1]可得關(guān)于m的不等式組，解出即可；

解答 （1）解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=m-$\frac{1}{{5}^{x}+1}$+m-$\frac{1}{{5}^{-x}+1}$=0，
即2m-（ $\frac{1}{{5}^{x}+1}$+$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+1}$）=0⇒2m-1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè) x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
則f（x1）-f（x2）=m-$\frac{1}{{5}^{{x}_{1}}+1}$-（m-$\frac{1}{{5}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{5}^{{x}_{1}}{-5}^{{x}_{2}}}{{（5}^{{x}_{2}}+1）（{5}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＜x₂∴${5}^{{x}_{1}}+1＞0$，${5}^{{x}_{2}}+1＞0$
${5}^{{x}_{1}}-{5}^{{x}_{2}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）由$0＜\frac{1}{{5}^{x}+1}＜1$，所以m-1＜f（x）＜m，f（x）值域?yàn)镈，且D⊆[-3，1]，
∴D=（m-1，m），
∵D⊆[-3，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}m-1≥-3\\ m≤1\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍是[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用及單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決相關(guān)問(wèn)題的基本方法，要熟練掌握．