Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，且a₁≠a₂，當(dāng)n∈N₊時(shí)，恒有S_n=pna_n（p為常數(shù)）．
（Ⅰ）求常數(shù)p的值；
（Ⅱ）當(dāng)a₂=2時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=$\frac{4}{{（{a_n}+2）{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，可得p=1或a₁=0，舍去p=1，通過(guò)n=2，求得p；
（Ⅱ）通過(guò)當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理，即可得到通項(xiàng)；
（Ⅲ）化簡(jiǎn)b_n，并由放縮法，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，∴a₁=pa₁，⇒p=1或a₁=0，
當(dāng)p=1時(shí)，S_n=na_n則有S₂=2a₂?a₁+a₂=2a₂?a₁=a₂與已知矛盾，
∴p≠1，只有a₁=0．
當(dāng)n=2時(shí)，由S₂=2pa₂?a₁+a₂=2pa₂，∵a₁=0又a₁≠a₂∴a₂≠0
∴$p=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵a₂=2，${S_n}=\frac{1}{2}n{a_n}$，
當(dāng)n＞2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$，
即$（n-2）{a_n}=（n-1）{a_{n-1}}?\frac{a_n}{n-1}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-2}$，
∴$\frac{a_n}{n-1}=\frac{a_2}{1}?{a_n}=2n-2$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2×1-2=0也適合．
∴a_n=2n-2．
（Ⅲ）證明：${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+2）{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然成立，
當(dāng)n≥3時(shí)有${T_n}＜1+\frac{1}{4}+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，同時(shí)考查不等式的證明方法：放縮法，及裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．